Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй - за 12 дней, а третий - за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй - 5 дней, а третий - 2 дня?

Чтобы решить задачу, сначала определим, какую часть работы по выкопке котлована может выполнить каждый экскаватор за один день.

Пусть весь котлован - это одно целое (1).

Первый экскаватор может выкопать котлован за 8 дней, значит за один день он выкопает 1/8 котлована. Второй экскаватор может выкопать весь котлован за 12 дней, следовательно за один день он выкопает 1/12 котлована. Третий экскаватор за 15 дней, то есть за один день он выкопает 1/15 котлована.

Теперь рассчитаем, какая часть котлована будет выкопана после работы каждого экскаватора в указанный срок.

Первый экскаватор работал 3 дня: 3 * (1/8) = 3/8 котлована. Второй экскаватор работал 5 дней: 5 * (1/12) = 5/12 котлована. Третий экскаватор работал 2 дня: 2 * (1/15) = 2/15 котлована.

Чтобы подсчитать общую часть выкопанного котлована, сложим доли, выполненные каждым экскаватором: Общая часть = 3/8 + 5/12 + 2/15

Перед сложением этих трех дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 8, 12 и 15 равно 120. Переведем все дроби к общему знаменателю:

3/8 = (3 * 15) / (8 * 15) = 45/120, 5/12 = (5 * 10) / (12 * 10) = 50/120, 2/15 = (2 * 8) / (15 * 8) = 16/120.

Теперь сложим получившиеся дроби:

Общая часть = 45/120 + 50/120 + 16/120 = (45 + 50 + 16)/120 = 111/120.

Чтобы определить, какая часть котлована осталась невыкопанной, нужно вычесть выкопанную часть из целого:

Не выкопанная часть = 1 - 111/120 = 120/120 - 111/120 = 9/120.

Упростим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

9/120 = (9/3) / (120/3) = 3/40.

Таким образом, после работы всех экскаваторов останется невыкопанной 3/40 котлована.