Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй - за 12 дней, а третий - за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй - 5 дней, а третий - 2 дня

Для решения этой задачи найдём сначала скорость работы каждого экскаватора в единицах выемки котлована в день.

Первый экскаватор может выкопать котлован за 8 дней, что означает его производительность:

1 котлован / 8 дней = 1/8 котлована в день.

Второй экскаватор может выкопать котлован за 12 дней:

1 котлован / 12 дней = 1/12 котлована в день.

Третий экскаватор может выкопать котлован за 15 дней:

1 котлован / 15 дней = 1/15 котлована в день.

Теперь найдём, сколько котлована каждый экскаватор успеет выкопать за указанное время.

Первый экскаватор работает 3 дня:

(1/8 котлована в день) * 3 дня = 3/8 котлована.

Второй экскаватор работает 5 дней:

(1/12 котлована в день) * 5 дней = 5/12 котлована.

Третий экскаватор работает 2 дня:

(1/15 котлована в день) * 2 дня = 2/15 котлована.

Теперь сложим объёмы котлованов, которые были выкопаны каждым экскаватором:

3/8 + 5/12 + 2/15.

Чтобы сложить эти дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8, 12 и 15 составляет 120. Приведём дроби к этому знаменателю:

3/8 = (3 * 15) / (8 * 15) = 45/120, 5/12 = (5 * 10) / (12 * 10) = 50/120, 2/15 = (2 * 8) / (15 * 8) = 16/120.

Теперь сложим эти эквивалентные дроби:

45/120 + 50/120 + 16/120 = (45 + 50 + 16) / 120 = 111/120.

Это означает, что после того как первый экскаватор отработал 3 дня, второй – 5 дней и третий – 2 дня, они вместе выкопали 111/120 часть котлована.

Теперь нужно определить, сколько осталось выкопать:

1 - 111/120 = (120/120) - (111/120) = (120 - 111) / 120 = 9/120.

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

9/120 = 3/40.

Таким образом, после работы всех трёх экскаваторов останется выкопать 3/40 котлована.