Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй - за 12 дней, а третий - за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй - 5 дней, а третий - 2 дня
Для решения задачи можно использовать концепцию долей работы, выполненной за 1 день.
Первый экскаватор может выполнять \( \frac{1}{8} \) всей работы за день, второй экскаватор - \( \frac{1}{12} \), а третий - \( \frac{1}{15} \).
После того, как первый экскаватор работает 3 дня, он выполняет \( 3 \times \frac{1}{8} \) часть работы. Второй экскаватор, работая 5 дней, выполняет \( 5 \times \frac{1}{12} \), а третий экскаватор за 2 дня выполняет \( 2 \times \frac{1}{15} \) работы.
Теперь сложим эти доли работы, чтобы узнать, какую часть работа они выполнили вместе:
\[ \text{Первый экскаватор: } 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] \[ \text{Второй экскаватор: } 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \] \[ \text{Третий экскаватор: } 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \]
Суммарно: \[ \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15} \]
Чтобы сложить эти дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным (НОК) для 8, 12 и 15 является число 120. Приводим дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120} \] \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \times 10}{12 \times 10} = \frac{50}{120} \] \[ \frac{2}{15} = \frac{2 \times 8}{15 \times 8} = \frac{16}{120} \]
Теперь сложим преобразованные дроби:
\[ \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} = \frac{111}{120} \]
Это означает, что суммарно экскаваторы выполнили \( \frac{111}{120} \) всей работы. Теперь мы можем найти, какая часть работы осталась:
\[ 1 - \frac{111}{120} = \frac{120}{120} - \frac{111}{120} = \frac{120 - 111}{120} = \frac{9}{120} \]
Упрощая полученную дробь, делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:
\[ \frac{9}{120} = \frac{9 \div 3}{120 \div 3} = \frac{3}{40} \]
Таким образом, после того, как первый экскаватор отработал 3 дня, второй - 5 дней, а третий - 2 дня, осталось выкопать \( \frac{3}{40} \) всего котлована.
