Из точки \( B \) к окружности с центром в точке \( M \), проведены дв касательные \( B A \) и \( B C \). Точки \( A \) и - точки касания, \( A M=3 \) см, ВC \( =4 \) см. Найдите длину отрезка \( B M )

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных. Так как \(AM\) и \(BC\) -- касательные, то \(AM\) и \(BC\) перпендикулярны радиусу, проведённому в точку касания. Значит, \(\angle AMB\) и \(\angle BMC\) -- прямые углы.

Так как \(\angle AMB\) и \(\angle BMC\) -- прямые, а \(\angle AMB=\angle BMC=90^\circ\), то треугольник \(\triangle AMB\) и треугольник \(\triangle BMC\) являются прямоугольными.

Из свойств прямоугольных треугольников можно сказать, что отношение длины катета к гипотенузе в таких треугольниках равно \(\sin\), а отношение длины катета к гипотенузе в таких треугольниках равно \(\cos\).

Поэтому \(\sin\angle AMB=\frac{AM}{BM}\) и \(\cos\angle AMB=\frac{BM}{AM}\). Аналогично \(\sin\angle BMD=\frac{DM}{BM}\) и \(\cos\angle BMD=\frac{BM}{DM}\).

Так как \(\angle AMB\) и \(\angle BMD\) являются смежными прямыми углами, их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\sin\angle AMB=\sin\angle BMD\) и \(\cos\angle AMB=-\cos\angle BMD\).

Таким образом, \(\frac{AM}{BM}=\frac{BM}{DM}\) и \(\frac{BM}{AM}=-\frac{BM}{DM}\).

Из первого равенства получаем \((AM)^2=(BM)^2\) или \(AM=BM\), а из второго равенства \(-BM^2=(AM)(DM)\).

Так как \(AM=3\) см и \(BC=4\) см, мы можем записать \(BM=3\) см.

Ответ: длина отрезка \(BM\) равна \(3\) см.