В треугольнике \( A B C \) через точку \( E \), которая делит сторону \( A C \) в отношении \( 7: 4 \), считая от вершины \( A \), проведены прямые, параллельные \( A B \) и \( B C \). Прямая, параллельная \( A B \), пересекает \( B C \) в точке \( P \), а параллельная \( B C \) пересекает \( A B \) в точке \( K \). Известно, что \( A B=66 \). Найдите длину отрезка \( A K \).

Для нахождения длины отрезка АК, мы можем использовать свойство подобия треугольников. Заметим, что треугольник АЕР подобен треугольнику АСК, так как у них соответствующие углы равны.

Мы знаем, что АС делится точкой Е в отношении 7:4. Это означает, что длина отрезка АЕ составляет 7/11 от длины АС (так как 7/(7+4) = 7/11).

Теперь, чтобы найти длину отрезка АК, мы можем использовать подобие треугольников АЕР и АСК. Заметим, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Длина отрезка АЕ составляет 7/11 от длины АС, следовательно длина отрезка АК будет составлять 7/11 от длины отрезка ВС.

Известно, что АВ равно 66. Значит, длина отрезка ВС также равна 66.

Таким образом, длина отрезка АК равна (7/11) * 66 = 42.