Потребовалось охладить мелкие алюминиевые детали после отливки. Для этого 54 кг деталей засыпали в одну цилиндрическую бочку и столько же деталей в другую. Бочки одинаковой…
Потребовалось охладить мелкие алюминиевые детали после отливки. Для этого 54 кг деталей засыпали в одну цилиндрическую бочку и столько же деталей в другую. Бочки одинаковой высоты, в них было налито одинаковое масло до одного уровня. Температура масла в первой бочке установилась на значении Т1 = 80°С, а в другой - на значении Т2 = 120°С. После того как все гранулы пересыпали в первую бочку в ней установилась температура Т3 = 85°С. Температура гранул перед охлаждением была Т = 440°. Во сколько раз отличаются диаметры бочек? Считать, что теплообмен происходит только между шариками и жидкостью, количество жидкости в бочке не меняется, а исходная температура жидкости в обеих бочках одинакова.
Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения теплоты.
Температура масла в первой бочке, когда все гранулы пересыпались, стала Т3 = 85°С. Таким образом, тепло, переданное от гранул в масло, равно теплу, переданному от масла к гранулам.
Q1 = Q2
Q1 - тепло, переданное от гранулы к маслу Q2 - тепло, переданное от масла к грануле
Используем формулу для расчета теплообмена:
Q = m * c * ΔT
где: Q - теплообмен m - масса c - удельная теплоемкость ΔT - изменение температуры
Обозначим массу гранул в каждой бочке: m1 - масса гранул в первой бочке m2 - масса гранул во второй бочке
Тогда, по закону сохранения теплоты:
(m1 * c * (T1 - T)) = (m1 * c * (T - T3))
где: T1 - исходная температура масла в первой бочке T - температура гранул перед охлаждением T3 - температура масла в первой бочке после пересыпания
Аналогично для второй бочки:
(m2 * c * (T2 - T)) = (m2 * c * (T - T3))
Если мы разделим первое уравнение на второе, то:
(m1 * c * (T1 - T)) / (m2 * c * (T2 - T)) = (m1 * c * (T - T3)) / (m2 * c * (T - T3))
simplify:
(T1 - T) / (T2 - T) = m1 / m2
Так как масса гранул в каждой бочке одинакова, можно записать:
m1 = m2 m2 = m2
Подставляем их в уравнение:
(T1 - T) / (T2 - T) = 1
Можно решить это уравнение относительно T:
T1 - T = T2 - T T = (T1 + T2) / 2
Снова подставляем значение T в исходное уравнение:
(T1 - T) / (T2 - T) = 1 (T1 - (T1 + T2) / 2) / (T2 - (T1 + T2) / 2) = 1
Упростим:
(2 * T1 - T1 - T2) / (2 * T2 - T1 - T2) = 1 (T1 - T2) / (T2 - T1) = 1
Значения T1 и T2 не противоречат друг другу. Поэтому разница в диаметрах бочек будет равна 0. Вывод: диаметры бочек одинаковы или различаются в незначительной степени.
