Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Для решения этого уравнения начнем с его алгебраического упрощения:

p + q = (p - q)³

Раскроем куб правой стороны:

p + q = p³ - 3p²q + 3pq² - q³

Теперь сгруппируем члены с p и q:

p + q = p³ - 3p²q + 3pq² - q³

Переносим все члены в одну сторону:

0 = p³ - 3p²q + 3pq² - q³ - p - q

0 = p³ - p - 3p²q + 3pq² - q³ - q

Из каждой группы членов (с p и q) можно вынести общие множители:

0 = p(p² - 1 - 3pq + 3q²) - q(1 + q²)

Далее заметим, что если p и q являются простыми числами, то они могут быть только положительными. В предположении, что p > q, это приводит к тому, что выражение (p² - 1 - 3pq + 3q²) является положительным, так как p² будет больше 3pq + 1 при условии, что p > 1 и q > 0. Так как p и q простые, мы также знаем, что они больше либо равны 2 (наименьшее простое число).

Если мы рассмотрим множитель с p:

p(p² - 1 - 3pq + 3q²)

Тогда он может быть равен нулю только если p = 0, что не подходит, так как p простое число и должно быть больше 1. Или если:

p² - 1 - 3pq + 3q² = 0

Но если p и q оба простые числа, то это уравнение не имеет решений в целых числах, так как 3pq всегда будет меньше, чем p² при p > 1 и q > 0.

Теперь рассмотрим множитель с q:

q(1 + q²)

Так как q - простое число, это выражение никогда не будет равно нулю для целых значений q.

Таким образом, нет целочисленных значений p и q, которые являются простыми числами и одновременно удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, нет решений в простых числах для заданного уравнения.