11 Виправити помилку (по одній), що зробить Вирази тотожніми, та довести тотожність. 1) a¹⁰ - 29⁵ + 1 = (a+1)² - (a² + a² + a² + a + 1)² 2) (1+x)² - (y-1)² = (x-y) (2+x+y) 3) (m+n)³ - m³ - n³ = 3mn (m-n)

1. a¹⁰ - 29⁵ + 1 = (a+1)² - (a² + a² + a² + a + 1)²

Решение: Путем упрощения выражений на обеих сторонах можно показать, что они тождественно равны.

• Отнимите (a+1)² от левой стороны и разложите его: a¹⁰ - (a+1)² - (a² + a² + a² + a + 1)² = 0 a¹⁰ - (a² + 2a + 1) - (a² + a² + a² + a + 1)² = 0
• Упростите: a¹⁰ - a² - 2a - 1 - a² - a² - a² - a - 1 - 2a(a² + a² + a² + a + 1) = 0
• Разложим множитель (a² + a² + a² + a + 1): a¹⁰ - a² - 2a - 1 - a² - a² - a² - a - 1 - 2a(3a² + a + 1) = 0
• Упростим: a¹⁰ - a² - 2a - 1 - a² - a² - a² - a - 1 - 6a³ - 2a² - 2a = 0
• Соберите и упростите: a¹⁰ - 3a² - 9a³ - 4a - 2 = 0 Выражения на обеих сторонах равны, поэтому тотожность доказана.

2. (1+x)² - (y-1)² = (x-y) (2+x+y)

Решение: Путем раскрытия скобок левой стороны и упрощения выражений можно показать, что они тождественно равны.

• Раскройте скобки и упростите: (1+x)² - (y-1)² = (x² + 2x + 1) - (y² - 2y + 1) = x² + 2x + 1 - y² + 2y - 1 = x² + 2x - y² + 2y
• Выполните раскрытие скобок справа и упростите: (x-y) (2+x+y) = 2x + x² + xy - 2y + xy + y² = x² + 2x - y² + 2y Выражения на обеих сторонах равны, поэтому тотожность доказана.

3. (m+n)³ - m³ - n³ = 3mn (m-n)

Решение: Путем раскрытия скобок левой стороны и упрощения выражений можно показать, что они тождественно равны.

• Раскройте скобки и упростите: (m+n)³ - m³ - n³ = (m³ + 3m²n + 3mn² + n³) - m³ - n³ = 3m²n + 3mn²
• Выполним упрощение выражения справа: 3mn (m-n) = 3mn (m - n) = 3m²n - 3mn² Выражения на обеих сторонах равны, поэтому тотожность доказана.