Вычислить интеграл

Привет! Вижу, тебе нужно найти значения нескольких интегралов. Давай начнем с первого.

1. \[\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx\]

Этот интеграл представляет собой логарифмическую функцию, поскольку производная логарифма \(\ln(x)\) равна \(1/x\). Таким образом, интеграл от \(1/x\) по переменной \(x\) будет \(\ln(|x|)\), но так как здесь \(x\) по условию положительно, то модуль можно опустить.

Подставим пределы интегрирования:

\[\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1.\]

Теперь посмотрим второй:

2. \[\int_{0}^{\ln(2)} e^x dx\]

Интеграл от экспоненты \(e^x\) равен самой функции \(e^x\), так как производная \(e^x\) также равна \(e^x\).

Подставляем пределы интегрирования:

\[e^{\ln(2)} - e^{0} = 2 - 1 = 1.\]

Перейдем к третьему:

3. \[\int_{-\pi}^{0} \sin(x) dx\]

Интеграл от синуса равен \(-\cos(x)\), так как производная косинуса равна \(-\sin(x)\).

Опять подставим пределы:

\[-\cos(0) - (-\cos(-\pi)) = -1 - (1) = -2.\]

И наконец, четвертый:

4. \[\int_{-3\pi}^{0} \cos(3x) dx\]

Здесь нужно сначала взять интеграл от (\cos(