Вычислить интеграл

Привет! Давай посмотрим на картинку с заданиями по интегралам.

1. Первый интеграл это интеграл от 1/x от 1 до e. Интеграл от 1/x, это ln|x|, поэтому тут нужно будет подставить пределы интегрирования и вычислить разность.

2. Второй интеграл это интеграл функции e^x от 0 до ln(2). Антипроизводная от e^x равна самой функции e^x. В этом случае тоже подставляем пределы интегрирования и находим разность.

3. Третий интеграл это интеграл от sin(x) от -2π до 0. Антипроизводной функции sin(x) является -cos(x). Снова подставляем пределы интегрирования.

4. Четвертый интеграл - это интеграл от cos(3x) от -3π до 0. Чтобы взять этот интеграл, нужно знать антипроизводную функции cos(ax), которая равна (1/a)sin(ax), где a - это число перед x, в данном случае 3. Не забывай, что знак перед пределами интегрирования влияет на знак результата.

Теперь решим каждый из них по шагам.

1. \[\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = ln|x|\Big|_{1}^{e} = ln|e| - ln|1| = 1 - 0 = 1.\]

2. [\int_{0}^{\ln(2)} e^x dx = e^x\Big|_{0}^{\ln(2)} = e^{\ln(2)} - e^0 = 2 - 1