.

Привет! Давай посмотрим на задачу. Нам нужно найти момент времени, когда ускорение материальной точки, движущейся по закону \( x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 + 3 \), будет равно нулю. Ускорение - это вторая производная от функции пути по времени.

Сначала найдем первую производную \( x(t) \), это будет скорость: \( v(t) = x'(t) = (\frac{1}{3}t^3)' - (5t^2)' + (3)' \)

Производная от \( t^3 \) равна \( 3t^2 \), но у нас есть множитель \( \frac{1}{3} \) перед \( t^3 \), поэтому у скорости будет множитель \( 3 \) на \( \frac{1}{3} \), который сокращается, и остается просто \( t^2 \).

Производная от \( 5t^2 \) равна \( 10t \).

И у числа 3 производная равна 0, так как это константа.

Итак, скорость: \( v(t) = t^2 - 10t \)

Теперь найдем ускорение, вторую производную \( x(t) \), это будет производная скорости: \( a(t) = v'(t) = (t^2)' - (10t)' \)

Производная от \( t^2 \) равна \( 2t \), а производная от \( 10t \) будет 10.

Отсюда ускорение: \( a(t) = 2t - 10 \)

Чтобы найти момент времени, когда ускорение равно нулю, мы приравниваем ускорение к нулю и решаем уравнение: (