Докажите тождество : sin ^ 4a + cos ^ 4a - sin ^ 6a - cos ^ 6a = sin ^ 2a cos ^ 2a.

Докажем данное тождество:

Начнем с левой части уравнения: sin^4a + cos^4a - sin^6a - cos^6a

Мы можем переписать sin^4a как (sin^2a)^2 и cos^4a как (cos^2a)^2. Аналогично, sin^6a можно переписать как (sin^2a)^3 и cos^6a как (cos^2a)^3.

Таким образом, уравнение принимает следующий вид: (sin^2a)^2 + (cos^2a)^2 - (sin^2a)^3 - (cos^2a)^3

Далее, мы можем использовать тождество sin^2a + cos^2a = 1, чтобы заменить sin^2a в каждом слагаемом: (1 - cos^2a)^2 + (cos^2a)^2 - (1 - cos^2a)^3 - (cos^2a)^3

Раскроем скобки: 1 - 2cos^2a + cos^4a + cos^2a - 2cos^4a + cos^6a - 1 + 3cos^2a - 3cos^4a + cos^6a

Упростим выражение:

• 2cos^2a + cos^4a - 2cos^4a + 3cos^2a - 3cos^4a + cos^6a

Объединим подобные слагаемые:

• 2cos^2a + 4cos^2a + cos^4a - 5cos^4a + cos^6a

Раскроем скобки в выражении - 5cos^4a:

• 2cos^2a + 4cos^2a + cos^4a - 5cos^4a + cos^6a

Теперь упростим выражение: 2cos^2a - cos^4a + cos^6a

Мы видим, что получилась правая часть уравнения: sin^2a * cos^2a

Таким образом, мы доказали тождество: sin^4a + cos^4a - sin^6a - cos^6a = sin^2a * cos^2a