Несколько человек должны были заплатить поровну 72 руб. Если бы их было на 3 меньше, то каждому пришлось бы заплатить на 4 руб больше. Сколько их было?
Пусть было \( x \) человек. Тогда, каждый должен был заплатить \( 72 / x \) рублей.
Если бы их было на три меньше, то есть \( x - 3 \), каждому нужно было бы заплатить \( 72 / (x - 3) \) рублей.
По условию задачи, известно, что в этом случае каждому пришлось бы заплатить на 4 рубля больше. Составим уравнение:
\[ \frac{72}{x - 3} - \frac{72}{x} = 4 \]
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\[ \frac{72x - 72(x - 3)}{x(x - 3)} = 4 \]
\[ \frac{72x - 72x + 216}{x(x - 3)} = 4 \]
\[ \frac{216}{x(x - 3)} = 4 \]
Перемножим обе части уравнения на \( x(x - 3) \), чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 216 = 4x(x - 3) \]
\[ 216 = 4x^2 - 12x \]
Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
\[ 4x^2 - 12x - 216 = 0 \]
Разделим обе части на 4, чтобы упростить уравнение:
\[ x^2 - 3x - 54 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 3x - 54 = (x - 9)(x + 6) = 0 \]
У нас есть два потенциальных решения:
\( x - 9 = 0 \) → \( x = 9 \)
\( x + 6 = 0 \) → \( x = -6 \)
Очевидно, что отрицательное число людей не имеет смысла в контексте этой задачи, поэтому мы принимаем положительное решение:
Ответ: \( x = 9 \) человек.
