Найдите эктстемумы функции f(x) =e^x (5-4x)

Для нахождения экстремумов функции f(x) = e^x (5-4x), нужно сначала вычислить её производную и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Затем, используя вторую производную, можно определить, является ли найденная точка экстремумом. Если вторая производная больше нуля, то это будет минимум, если меньше нуля - максимум.

Расчеты:

f(x) = e^x (5-4x) f'(x) = e^x (5-4x)' + e^x (5-4x) = e^x (0 - 4) + e^x (5-4x) = -4e^x + (5-4x)e^x = (5 - 4x - 4)e^x = (1 - 4x)e^x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

(1 - 4x)e^x = 0 1 - 4x = 0 4x = 1 x = 1/4

Таким образом, точка х = 1/4 может быть экстремумом функции. Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, найдем вторую производную:

f''(x) = ((1 - 4x)e^x)' = (-4e^x - 4(1-4x)e^x + (1-4x)e^x)' = (-4e^x - 4e^x + 16xe^x + e^x - 4xe^x) = (-8e^x + 12xe^x + e^x) = (12x - 8)e^x + e^x = (12x - 7)e^x

Подставим найденную точку x = 1/4:

f''(1/4) = (12(1/4) - 7)e^(1/4) = (3 - 7)e^(1/4) = -4e^(1/4)

Поскольку вторая производная при x = 1/4 (то есть -4e^(1/4)) меньше нуля, это будет максимум.

Таким образом, функция f(x) = e^x (5-4x) имеет максимум в точке x = 1/4.