.

Привет! Давай вместе решим эту тригонометрическую задачу.

Итак, у нас есть значение косинуса угла \( \alpha \), которое равно \( \frac{24}{25} \), и нам нужно найти значения синуса, косинуса и тангенса половины угла и синуса и косинуса удвоенного угла.

Для начала, нам известен косинус угла, давай найдем синус. Мы знаем, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Подставляем значение косинуса и находим синус:

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{24}{25} \right)^2 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{576}{625} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{625}{625} - \frac{576}{625} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{49}{625} \] \[ \sin \alpha = \pm \frac{7}{25} \]

Поскольку угол \( \alpha \) принадлежит первой четверти, где все тригонометрические функции положительны, то:

\[ \sin \alpha = \frac{7}{25} \]

Теперь найдем значения для половинного угла:

\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \] \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} \] \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{\frac{25}{25} - \frac{24}{25}}{2}} \] [ \sin \frac{\alpha}{2