Alina a primit cadou de ziua ei un kit pentru confecționarea brătărilor care conține 24 de mărgele albastre,31de mărgele verzi și 40 de mărgele roșii.Înpreună cu mama ei, vrea să confecționeze cel puțin 5 brățări identice,care să conțină aceeași combinație de mărgele .Căte brățări noapte face Alina? Răspuns: Numărul de brățări trebuie să se cuprindă exact și în numărul mărgelelor albastre și în numărul mărgelelor verzi și în numărul mărgelelor roșii, deși numărul brățărilor divize și pe 24, și pe 32, și pe 40.Adică numărul de brățări este un divizor comun al numerelor 24,32, și 40. D24:1,2,3,4. 6,8. 12, 24. D32:1,2. 4. 8. 16. 32. D40:1,2. 4,5. 8,10. 20. 40. Observăm că divizorii comuni sunt 1,2,4, și 8.Cum Alina și mama sa au nevoie de cel puțin 5 brățări, înseamnă că ele vor face 8 brățări,fiecare conținând câte 3 mărgele albastre,4 mărgele verzi și 5 mărgele roșii.
Să abordăm problema în pași și să elucidăm calculul:
Avem următoarele cantităţi de mărgele:
- 24 mărgele albastre
- 31 mărgele verzi
- 40 mărgele roșii
Dorim să facem cel puțin 5 brățări identice, ceea ce înseamnă că fiecare brățară trebuie să conțină un număr de mărgele care să fie divizibile exact în cantitățile de mărgele de fiecare culoare disponibile.
Primul pas este să identificăm divizorii comuni pentru numerele 24, 31 și 40. Menționez că în enunțul inițial este o mică eroare, unde arată 31 de mărgele verzi, dar în explicație folosește numărul 32, ceea ce cred că este doar o greșeală de tipar. Vom presupune că numărul corect este 31, deoarece acesta este numărul dat inițial.
Căutăm divizorii comuni (cei mai mari chiar) între aceste trei numere:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 31: 1, 31 (deoarece 31 este un număr prim) 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Pentru că 31 este un număr prim, singurul divizor comun între 24, 31 și 40 va fi 1. Acest lucru înseamnă că nu putem face brățări identice în care să folosim mai mult de o mărgică verde pe brățară, respectând criteriul dat. Având în vedere acest lucru, numărul maxim de brățări pe care le putem face este limitat de numărul de mărgele verzi, adică 31 de brățări, fiecare având câte o mărgică verde.
Acum, să analizăm câte mărgele albastre și roșii putem împărți pentru a se potrivi cu cele 31 de mărgele verzi. Dacă folosim câte o mărgică verde pe brățară, putem folosi un număr de mărgele albastre și roșii care se împarte exact la 31. Cum 31 este prim, nu avem altă opțiune decât să folosim fiecare mărgică verde pentru o brățară, rămânând cu următoarele opțiuni:
- 24 mărgele albastre împărțite la 31 brățări ne lasă fără opțiuni pentru că nu putem împărți exact.
- 40 mărgele roșii de asemenea nu pot fi împărțite exact la 31 brățări.
Din cele de mai sus, rezultă că putem face 31 de brățări, fiecare conținând 1 mărgică verde și un număr de mărgele albastre și roșii care nu depășește totalul disponibil. Dacă dorim ca brățările să fie identice, singura opțiune este să folosim o singură mărgică de fiecare culoare pe brățară, adică să facem 31 de brățări, fiecare cu câte 1 mărgică albastră, 1 verde și 1 roșie dacă dorim să respectăm condițiile de identitate perfectă între brățări. Acest lucru ne lasă cu mărgele neutilizate, pe care le putem folosi eventual pentru alte proiecte creative.
