Найди производную

Привет! Давай вместе найдем производную функции, которую ты записал. У тебя дана функция \( y = x^3 (5^x - \mathrm{tg}\,x) \). Чтобы найти ее производную, нам нужно применить правило дифференцирования произведения двух функций. Правило гласит: производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Итак, давай шаг за шагом найдем производную:

1. Обозначим первую функцию как \( u(x) = x^3 \) и найдем ее производную \( u'(x) \).
2. Обозначим вторую функцию как \( v(x) = 5^x - \mathrm{tg}\,x \) и найдем ее производную \( v'(x) \).

\( u'(x) = 3x^2 \) - это производная функции \( x^3 \), а производную функции \( v(x) \) найдем по частям:

\( \frac{d}{dx}(5^x) = 5^x \ln(5) \) - производная экспоненциальной функции \( 5^x \). \( \frac{d}{dx}(-\mathrm{tg}\,x) = -\frac{d}{dx}(\sin x / \cos x) = -(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}) = -(\frac{1}{\cos^2 x}) = -\sec^2 x \) - производная тангенса.

Теперь сложим их:

\( v'(x) = 5^x \ln(5) - \sec^2 x \).

И теперь применим правило