Точка A — середина отрезка MK. Найдите координаты точки A и длину отрезка MK, если M (5; −2; 1), K (3; 4; −3). Отметьте верные ответы для точки А и отрезка МК :

Чтобы найти координаты середины отрезка по формуле серединного перпендикуляра, мы берем среднее арифметическое координат его концов. Пусть \(A(x_A, y_A, z_A)\), согласно формуле:

\[x_A = \frac{x_M + x_K}{2}\] \[y_A = \frac{y_M + y_K}{2}\] \[z_A = \frac{z_M + z_K}{2}\]

Подставим заданные значения координат точек \(M\) и \(K\):

\[x_A = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[y_A = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[z_A = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Таким образом, координаты середины отрезка \(MK\), то есть точки \(A\), равны \(A(4; 1; -1)\).

Теперь найдём длину отрезка \(MK\) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

\[d = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 + (z_K - z_M)^2}\]

Подставим значения:

\[d = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2}\] \[d = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 + (-4)^2}\] \[d = \sqrt{4 + 36 + 16}\] \[d = \sqrt{56}\] \[d = \sqrt{4 \cdot 14}\] \[d = 2\sqrt{14}\]

Длина отрезка \(MK\) равна \(2\sqrt{14}\).