Найдите косинус угла между векторами a(3;-2;1) и b(1;2;4)

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами a и b, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где θ - угол между векторами a и b, a · b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Сперва найдем скалярное произведение векторов a и b:

a · b = (3 * 1) + (-2 * 2) + (1 * 4) = 3 - 4 + 4 = 3.

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(9 + 4 + 1) = √14,

|b| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|) = 3 / (√14 * √21) = 3 / √(14 * 21) = 3 / √294.

Упростим под корнем:

√294 = √(2 * 3 * 7 * 7) = 3 * √(2 * 7) = 3 * √14.

Теперь подставим упрощенное значение:

cos(θ) = 3 / (3 * √14) = 1 / √14.

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен 1 / √14.