Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: из первого цеха - 70 %, из второго цеха - 30 %. Литьё из первого цеха имеет 10 % брака, литьё из второго - 20 % брака. Случайно взятая болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом?

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу условной вероятности.

Пусть A - событие "болванка изготовлена первым цехом". Пусть B - событие "болванка без дефекта".

Так как 70% литья поступает из первого цеха, то P(A) = 0.7. Также, так как литье из первого цеха имеет 10% брака, то P(B|A) = 0.9.

Мы хотим найти вероятность P(A|B), т.е. вероятность того, что болванка была изготовлена первым цехом при условии, что она без дефекта.

Используя формулу условной вероятности, мы имеем:

P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B)

Заменяя значения, получаем:

P(A|B) = (0.7 * 0.9) / P(B)

Так как нам дано, что случайно взятая болванка оказалась без дефекта, то вероятность P(B) равна вероятности быть без дефекта в обоих цехах:

P(B) = (P(A) * P(B|A)) + (P(A') * P(B|A'))

Где A' - событие "болванка изготовлена вторым цехом". Так как 30% литья поступает из второго цеха, то P(A') = 0.3. Также, так как литье из второго цеха имеет 20% брака, то P(B|A') = 0.8.

Подставляя значения, получаем:

P(B) = (0.7 * 0.9) + (0.3 * 0.8)

Вычисляем:

P(B) = 0.63 + 0.24 P(B) = 0.87

Теперь, подставляя P(B) в изначальное уравнение, мы получаем:

P(A|B) = (0.7 * 0.9) / 0.87

Вычисляем:

P(A|B) ≈ 0.759

Таким образом, вероятность изготовления болванки первым цехом при условии, что она без дефекта, составляет примерно 0.759 или около 76%.