Вычислить предел

Привет! Давайте вместе посмотрим на этот предел.

Нам нужно найти предел выражения \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1 - \lg x}{\cos 2x}\right)\).

Первое, что следует заметить – это то, что при \(x \to \infty\) логарифмическая функция "lg x" растёт неограниченно, но в значительно более медленном темпе по сравнению с прямой пропорциональной зависимостью.

Следующее, что следует принять во внимание – это функция косинус на бесконечности не имеет предела в традиционном смысле, потому что она колеблется между -1 и 1. В выражении \(\cos 2x\) мы видим, что аргумент удвоен, что означает, что косинус будет колебаться с удвоенной частотой, но это не влияет на его предельное поведение при \(x \to \infty\).

Таким образом, если бы в числителе не было логарифма, то предел бы не существовал, поскольку знаменатель колеблется и не приближается ни к какому конкретному значению.

Однако, у нас в числителе стоит \(1 - \lg x\), который стремится к \(-\infty\) при \(x \to \infty\). Таким образом, мы имеем неопределённость вида \([-∞,∞]\).

Теперь мы видим, что, несмотря на неограниченный рост логарифма, его рост настолько медленный по сравнению с