Вычислите значение производной функции f(x)=8 ln x/2 в точке x0=1/2

Для начала найдем производную функции f(x)=8 ln(x/2). Используем правило производной логарифмической функции и правило производной сложной функции.

Производная логарифмической функции ln(u(x)) при условии дифференцируемости u(x) и u(x) > 0:

(f(u(x)))' = (ln(u(x)))' = 1/u(x) * u'(x).

Здесь u(x) = x/2, и u(x) > 0 при x > 0.

Найдем производную u(x):

u'(x) = (x/2)' = 1/2.

Теперь найдем производную f(x):

f'(x) = (8 ln(x/2))' = 8 * (1/(x/2)) * (1/2) = 8/(x/2) * 1/2 = 8 * 2/x = 16/x.

Теперь вычислим значение этой производной в точке x0 = 1/2:

f'(x0) = 16/x0 = 16/(1/2) = 16 * 2 = 32.

Таким образом, значение производной функции f(x) = 8 ln(x/2) в точке x0 = 1/2 равно 32.