Привет!
Давай вместе рассмотрим эти предложения и найдём, где нужно поставить запятую.
"Проснувшись Егор рано и сразу побежал на речку." Это сложноподчиненное предложение, и запятая ставится перед союзом "и", потому что он соединяет две самостоятельные части предложения: "Проснувшись Егор рано" и "сразу побежал на речку". Перед "и" требуется запятая, так как в первой части предложения действительно сложное сказуемое (две формы глагола: причастный оборот "проснувшись" и личная форма "побежал"). Правильно: "Проснувшись, Егор рано и сразу побежал на речку."
"Боролись они азартно и не уступали друг другу ни шагу." Здесь запятая не нужна, так как союз "и" соединяет однородные члены предложения (причастия "боролись азартно" и "не уступали друг другу ни шагу"), а не самостоятельные предложения.
"Выйди ветер и капли стучали в окна террасы." Тут ошибка в начале предложения. Скорее всего, слово "выйди" является опечаткой и должно быть "выйдя". Если предположить, что это сложноподчиненное предложение, то перед "и" нужна запятая: "выйдя ветер, и капли стучали в окна террасы."
