Внутри развернутого угла АОВ выбрали лучи OD и ОС таким образом, что угол АОС вдвое больше угла BOD большего 60°. Докажите, что угол между биссектрисами углов AOD и DOC равен углу BOD.

Для начала обозначим углы, чтобы лучше понять условия задачи.

Пусть угол BOD = x, тогда угол AOC = 2x, по условию задачи (поскольку угол AOC в два раза больше, чем угол BOD). Также по условию x > 60°. Нам необходимо доказать, что угол между биссектрисами углов AOD и COD равен углу BOD, то есть равен x.

Угол AOD составлен из углов AOC и COD, следовательно, угол AOD = 2x + x = 3x. Если мы обозначим биссектрису угла AOD как OL, а биссектрису угла COD как OM, то угол LOL' (где L' это точка на луче OD такая, что OL' - продолжение OL) будет равен половине угла AOD, то есть 3x/2, а угол MOM' (где M' это точка на луче OD такая, что OM' - продолжение OM) будет равен половине угла COD, то есть x/2.

Поскольку OL и OM являются биссектрисами, а луч OD лежит между ними, угол LOM составлен из углов LOL' и LOM', то есть он равен (3x/2 – x/2) = x, что и требовалось доказать.

Итак, угол между биссектрисами углов AOD и COD равен углу BOD.