Составьте уравнение касательной к графику функции y=e^(x^2-5x+6) в точке с абсциссой x=1

Чтобы написать уравнение касательной к графику функции \( y = e^{x^2 - 5x + 6} \) в точке с абсциссой \( x = 1 \), нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Рассчитать значение функции в точке \( x = 1 \).
2. Найдите производную функции.
3. Рассчитать значение производной функции в точке \( x = 1 \), чтобы узнать угловой коэффициент касательной.
4. Использовать угловой коэффициент и координаты точки для записи уравнения касательной.

Шаг 1: Значение функции в x = 1 Подставляем \( x = 1 \) в функцию \( y \): \[ y(1) = e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} = e^{1 - 5 + 6} = e^{2} \]

Шаг 2: Производная функции Производная экспоненциальной функции, где экспонента является функцией, может быть найдена с использованием следующего правила: если \( y = e^{u(x)} \), то \( y' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \).

Пусть \( u(x) = x^2 - 5x + 6 \), тогда: \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(6) = 2x - 5 \]

Теперь рассчитаем \( y'(x) \): \[ y'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = (2x - 5) \cdot e^{x^2 - 5x + 6} \]

Шаг 3: Значение производной в x = 1 \[ y'(1) = (2 \cdot 1 - 5) \cdot e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} = (-3) \cdot e^{2} \]

Шаг 4: Уравнение касательной Теперь, используя точку касания \( (1, e^{2}) \) и угловой коэффициент касательной \( -3e^{2} \), мы можем записать уравнение касательной в форме \( y - y_1 = m(x - x_1) \), где \( (x_1, y_1) \) - координаты точки касания, и \( m \) - угловой коэффициент: \[ y - e^{2} = -3e^{2}(x - 1) \]

Раскроем скобки и перепешем уравнение в более привычную форму, \( y = mx + b \): \[ y = -3e^{2}x + 3e^{2} + e^{2} \] \[ y = -3e^{2}x + 4e^{2} \]

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой \( x = 1 \) имеет вид: \[ y = -3e^{2}x + 4e^{2} \]