Решить

Привет! Давай разберемся с примером, который ты прислал. Нам нужно решить неопределенный интеграл \( \int e^{x}\cos{x} \,dx \).

Для начала вспомним метод интегрирования по частям, который работает по следующей формуле \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), где \( u \) и \( dv \) - функции от \( x \), которые мы выбираем из подынтегрального выражения.

Для этой задачи удобно выбрать:

• \( u = e^{x}\), так как производная экспоненты проста, и она не изменится
• \( dv = \cos{x} \,dx \), так как интеграл от косинуса легко берётся.

Найдем производную от \( u \): \( du = e^{x} \,dx \)

Найдем интеграл от \( dv \): \( v = \int \cos{x} \,dx = \sin{x} \)

Теперь применим формулу интегрирования по частям: \( \int e^{x}\cos{x} \,dx = e^{x}\sin{x} - \int \sin{x}e^{x} \,dx \)

Но чтобы решить этот новый интеграл, нам снова нужно использовать интегрирование по частям. Здесь можно поступить так:

• \( u = e^{x} \) (по тем же причинам)
• \( dv = \sin{x} \,dx \)

Тогда: \( du = e^{x} \,dx \) \( v = -\cos{x} \)

Подставим в формулу: ( \int e^{x}\sin{x} ,dx = -e^{x}\cos{x} + \int \cos{x}e^{x} ,dx