Докажи что для любых целых a: a^3+2a^2+3a либо делится на 4, либо при делении на 4 даёт остаток 2.

Для любого целого числа a докажем утверждение.

При делении числа a на 4 возможны три остатка: 0, 1, 2, 3.

1. Если a делится на 4, то a^3 также будет делиться на 4, так как (a^3)/4 = (a/4)*(a^2), где a/4 - целое число.

2. Если a даёт остаток 1 при делении на 4, то a^2 даёт остаток 1, и а^3 даёт остаток 1, поэтому a^3 = 4k + 1, где k - целое число. Подставляя в формулу a^3 + 2a^2 + 3a получим (4k + 1) + 2*(4k + 1) + 3a = 4(3k + 1) + 1 + 2 + 3a = 4(3k + 1) + 3a + 3 = 4*(3k + 1) + 3(a + 1). Таким образом, a^3 + 2a^2 + 3a всегда даёт остаток 3 при делении на 4.

3. Если a даёт остаток 2 при делении на 4, то a^2 даёт остаток 0, и a^3 даёт остаток 2. Подставляя в формулу a^3 + 2a^2 + 3a получим 2 + 20 + 32 = 2 + 6 = 8. Таким образом, a^3 + 2a^2 + 3a делится на 4.

Таким образом, для любого целого a утверждение доказано.