Докажи что для любых целых a: a^3+2a^2+3a либо делится на 4, либо при делении на 4 даёт остаток 2.

Для a = 0 остаток при делении на 4 равен 0, что подходит под условие. Пусть a ≠ 0. Рассмотрим три случая:

1. a делится на 4: a = 4k, где k - целое.
2. a даёт при делении на 4 остаток 1: a = 4k + 1.
3. a даёт при делении на 4 остаток 3: a = 4k + 3.

Подставим в выражение a^3 + 2a^2 + 3a:

1. (4k)^3 + 2(4k)^2 + 3(4k) = 64k^3 + 32k^2 + 12k = 4(16k^3 + 8k^2 + 3k), что делится на 4.
2. (4k + 1)^3 + 2(4k + 1)^2 + 3(4k + 1) = 64k^3 + 96k^2 + 44k + 6 = 4(16k^3 + 24k^2 + 11k + 1) + 2, даёт остаток 2.
3. (4k + 3)^3 + 2(4k + 3)^2 + 3(4k + 3) = 64k^3 + 192k^2 + 180k + 54 = 4(16k^3 + 48k^2 + 45k + 13) + 2, даёт остаток 2.

Таким образом, удовлетворяют условию: a^3 + 2a^2 + 3a либо делится на 4, либо даёт остаток 2 при делении на 4 для любого целого a.