Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, ВС ВА = BD². Докажите, что ∠BAD = ∠BDC. В каком от- ношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC: AD = 3:2?

Доказательство: Пусть ∠BAD = α и ∠BDC = β. Так как BD - биссектриса, то по условию BC/BA = BD². Также известно, что DC:AD = 3:2. Из сходства треугольников ABD и BCD, мы имеем BD/AD = BC/BA. Заменив BC/BA на BD² и BD/AD на 3/2, получаем BD = 3/2 * AD. Так как BD - это биссектриса угла D, то ∠ABD = ∠ADB = α. Также угол BAD = α. Применив теорему косинусов к треугольнику ABD, получаем BD² = AB² + AD² - 2ABADcos(α). Аналогично, для треугольника BDC, BD² = BC² + CD² - 2BCCDcos(β). Сравнение двух уравнений даёт AB² + AD² - 2ABADcos(α) = BC² + CD² - 2BCCDcos(β). Так как BD = 3/2 * AD и BC/DC = 3/2, то получаем AB² + AD² - 2ABADcos(α) = 9CD²/4 + CD² - 9CD²/2. Упростив это выражение, получаем AB² + AD² - 2ABADcos(α) = CD². Из этого следует, что cos(β) = cos(α). Так как углы α и β спаренные, то ∠BAD = ∠BDC.

Отношение площадей: Площадь четырехугольника ABCD делится его диагональю BD в отношении 3:2.