Вычислить двойной интеграл (x+y)dxdy,если область D ограничена прямыми 2x+y=1 ; 2x+y=3 ; x-y=-1 ; x-y=2

Question 1

Задача Задача №45566

А

Аноним

14 ноября 2023 19:43 · публичный вопрос

А

Аноним 14 ноября 2023 19:43

Вычислить двойной интеграл (x+y)dxdy,если область D ограничена прямыми 2x+y=1 ; 2x+y=3 ; x-y=-1 ; x-y=2

Answer

Чтобы вычислить данный двойной интеграл, сначала необходимо определить пределы интегрирования, исходя из заданных уравнений прямых, ограничивающих область D.

Для этого найдём пересечения прямых:

2x + y = 1 и x - y = -1
2x + y = 1 и x - y = 2
2x + y = 3 и x - y = -1
2x + y = 3 и x - y = 2

Найдём точки пересечения пар прямых:

Из системы уравнений: 2x + y = 1 и x - y = -1 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 0 => x = 0 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 2*0 + y = 1 => y = 1 Получаем точку (0, 1)
Из системы уравнений: 2x + y = 1 и x - y = 2 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 3 => x = 1 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 1 - y = 2 => y = -1 Получаем точку (1, -1)
Из системы уравнений: 2x + y = 3 и x - y = -1 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 2 => x = 2/3 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 2*2/3 + y = 3 => y = 3 - 4/3 => y = 5/3 Получаем точку (2/3, 5/3)
Из системы уравнений: 2x + y = 3 и x - y = 2 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 5 => x = 5/3 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 5/3 - y = 2 => y = 5/3 - 6/3 => y = -1/3 Получаем точку (5/3, -1/3)

Теперь, зная точки пересечения, можем нарисовать область интегрирования и определить пределы интегрирования.

Судя по наклону прямых, область D имеет форму четырёхугольника, и для удобства вычисления интеграла мы можем разделить регион на два подрегиона вдоль оси x или y. В данном случае, давайте разделим его по оси y, чтобы можно было легко разделить область на два треугольника.

Для левого треугольника (по оси y):

y изменяется от 1 до 5/3 (будем интегрировать снизу вверх) x изменяется от (1-y)/2 до (y+1)

Для правого треугольника:

y изменяется от -1/3 до -1 (с инверсией, поскольку второй треугольник ориентирован иным образом) x изменяется от (y+1) до (3-y)/2

Теперь мы можем записать двойной интеграл в виде суммы двух интегралов:

∫(от y=1 до y=5/3) ∫(от x=(1-y)/2 до x=(y+1)) (x + y) dxdy + ∫(от y=-1/3 до y=-1) ∫(от x=(y+1) до x=(3-y)/2) (x + y) dxdy

Решая эти интегралы последовательно (сначала по x, потом по y), мы получим значение двойного интеграла по области D.

Question 2

вычислить двойной интеграл (x+y)dxdy,если область D ограничена прямыми 2x+y=1 ; 2x+y=3 ; x-y=-1 ; x-y=2

Answer

Чтобы вычислить данный двойной интеграл, сначала необходимо определить пределы интегрирования, исходя из заданных уравнений прямых, ограничивающих область D. Для этого найдём пересечения прямых: 1. 2x + y = 1 и x - y = -1 2. 2x + y = 1 и x - y = 2 3. 2x + y = 3 и x - y = -1 4. 2x + y = 3 и x - y = 2 Найдём точки пересечения пар прямых: 1. Из системы уравнений: 2x + y = 1 и x - y = -1 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 0 => x = 0 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 2*0 + y = 1 => y = 1 Получаем точку (0, 1) 2. Из системы уравнений: 2x + y = 1 и x - y = 2 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 3 => x = 1 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 1 - y = 2 => y = -1 Получаем точку (1, -1) 3. Из системы уравнений: 2x + y = 3 и x - y = -1 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 2 => x = 2/3 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 2*2/3 + y = 3 => y = 3 - 4/3 => y = 5/3 Получаем точку (2/3, 5/3) 4. Из системы уравнений: 2x + y = 3 и x - y = 2 Сложим их, чтобы найти x: 3x = 5 => x = 5/3 Подставим x в одно из уравнений системы чтобы найти y: 5/3 - y = 2 => y = 5/3 - 6/3 => y = -1/3 Получаем точку (5/3, -1/3) Теперь, зная точки пересечения, можем нарисовать область интегрирования и определить пределы интегрирования. Судя по наклону прямых, область D имеет форму четырёхугольника, и для удобства вычисления интеграла мы можем разделить регион на два подрегиона вдоль оси x или y. В данном случае, давайте разделим его по оси y, чтобы можно было легко разделить область на два треугольника. Для левого треугольника (по оси y): y изменяется от 1 до 5/3 (будем интегрировать снизу вверх) x изменяется от (1-y)/2 до (y+1) Для правого треугольника: y изменяется от -1/3 до -1 (с инверсией, поскольку второй треугольник ориентирован иным образом) x изменяется от (y+1) до (3-y)/2 Теперь мы можем записать двойной интеграл в виде суммы двух интегралов: ∫(от y=1 до y=5/3) ∫(от x=(1-y)/2 до x=(y+1)) (x + y) dxdy + ∫(от y=-1/3 до y=-1) ∫(от x=(y+1) до x=(3-y)/2) (x + y) dxdy Решая эти интегралы последовательно (сначала по x, потом по y), мы получим значение двойного интеграла по области D.