Как изменится ускорение свободного падения космического корабля вблизи Земли, если расстояние от него до центра Земли уменьшится в 8 раза?
Ускорение свободного падения ($g$) возле поверхности крупного небесного тела, такого как Земля, определяется законом всемирного тяготения Ньютона, который формулируется следующим образом:
\[ g = \frac{G \cdot M}{r^2} \]
где:
- $G$ — гравитационная постоянная, равная примерно $6.674 \times 10^{-11} \text{ м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}$,
- $M$ — масса Земли,
- $r$ — расстояние от центра Земли до объекта.
Если расстояние от центра Земли до космического корабля уменьшится в 8 раз, это можно записать как $r_{новое} = \frac{r_{старое}}{8}$.
Теперь мы можем подставить это новое расстояние в формулу, чтобы найти новое ускорение свободного падения $g_{новое}$:
\[ g_{новое} = \frac{G \cdot M}{{r_{новое}}^2} = \frac{G \cdot M}{{(\frac{r_{старое}}{8})}^2} = \frac{G \cdot M}{\frac{r_{старое}^2}{64}} = \frac{64 \cdot G \cdot M}{r_{старое}^2} \]
Так как $g_{старое} = \frac{G \cdot M}{r_{старое}^2}$, мы можем сказать, что:
\[ g_{новое} = 64 \cdot g_{старое} \]
Таким образом, ускорение свободного падения космического корабля увеличится в 64 раза по отношению к его изначальному значению на поверхности Земли или на том расстоянии, которое было изначально установлено до изменения.
