Как изменится ускорение свободного падения космического корабля вблизи Земли, если расстояние от него до центра Земли уменьшится в 8 раза?

Ускорение свободного падения объекта вблизи земли определяется законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила тяжести F, действующая между двумя массами, прямо пропорциональна произведению их масс (m1 и m2) и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между их центрами:

\[ F = G \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где G — гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения (g) рядом с поверхностью Земли является частным случаем этой формулы, где m1 это масса Земли (M), m2 это масса объекта, который притягивается (но поскольку мы рассматриваем ускорение, его массу можно исключить из уравнения), и r — радиус Земли (R). Таким образом, ускорение свободного падения равно:

\[ g = G \frac{{M}}{{R^2}} \]

Если космический корабль приблизится к Земле так, что расстояние до центра Земли уменьшится в 8 раз, то новое расстояние r' будет r' = R / 8. Чтобы вычислить новое ускорение свободного падения (g'), подставим r' в формулу:

\[ g' = G \frac{{M}}{{(R/8)^2}} \] \[ g' = G \frac{{M}}{{R^2/64}} \] \[ g' = 64 \cdot G \frac{{M}}{{R^2}} \]

Так как \( G \frac{{M}}{{R^2}} \) это исходное ускорение свободного падения (g), новое ускорение свободного падения (g') будет:

\[ g' = 64 \cdot g \]

Таким образом, ускорение свободного падения космического корабля возрастет в 64 раза, если расстояние до центра Земли уменьшится в 8 раз.