Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Ускорение свободного падения на поверхности Земли (g) и на высоте (g') от поверхности Земли связаны с массой Земли (M) и радиусом Земли (R) соотношениями:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
\[ g' = \frac{G \cdot M}{{(R + h)}^2} \]
где h – высота над поверхностью Земли и G – гравитационная постоянная.
Дано ускорение свободного падения (g') на высоте как 4.9 м/с². Мы знаем g (стандартное ускорение свободного падения у поверхности Земли) равно приблизительно 9.8 м/с², так что можно записать уравнение:
\[ \frac{G \cdot M}{R^2} = 9.8 \]
\[ \frac{G \cdot M}{{(R + h)}^2} = 4.9 \]
Используем радиус Земли (R), который примерно равен 6400 км или 6,400,000 м. Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от G и M:
\[ \frac{\frac{G \cdot M}{R^2}}{\frac{G \cdot M}{{(R + h)}^2}} = \frac{9.8}{4.9} \]
\[ \frac{(R + h)^2}{R^2} = \frac{9.8}{4.9} \]
\[ \frac{(R + h)^2}{R^2} = 2 \]
\[ (R + h)^2 = 2R^2 \]
\[ (R + h) = \sqrt{2}R \]
\[ h = (\sqrt{2}R) - R \]
\[ h = R(\sqrt{2} - 1) \]
\[ h = 6400000 (\sqrt{2} - 1) \]
\[ h = 6400000 (1.4142 - 1) \]
\[ h = 6400000 (0.4142) \]
\[ h \approx 2649920 \text{ м} \]
Итак, округляем до целых:
\[ h \approx 2649920 \text{ м} \]
\[ h \approx 2650000 \text{ м} \]
\[ h \approx 2650 \text{ км} \]
Таким образом, высота, на которой ускорение свободного падения равно 4.9 м/с², приблизительно равна 2650 км относительно поверхности Земли.
