Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для расчета высоты, на которой ускорение свободного падения (g) равно 4,9 м/с², используем формулу Ньютона для гравитационного притяжения:
\[ g = \frac{G M}{(R+h)^2} \]
где:
- \( G \) - гравитационная постоянная (6,67430 × 10⁻¹¹ м³·кг⁻¹·с⁻²),
- \( M \) - масса Земли (6 × 10²⁴ кг),
- \( R \) - радиус Земли (6400 км, или 6,4 × 10⁶ м),
- \( h \) - искомая высота над поверхностью Земли.
В вашем условии задачи указаны другие значения для гравитационной постоянной и массы Земли. Существует незначительное различие в значениях для гравитационной постоянной, разные источники могут давать разные значения. Мы будем использовать в условиях задачи значения:
\[ G = 6,7 × 10^{-11} \text{м³·кг⁻¹·с⁻²} \] \[ M = 6 × 10^{24} \text{кг} \] \[ g = 4,9 \text{м/с²} \] \[ R = 6400 \text{км} = 6,4 × 10^6 \text{м} \]
Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \( h \):
\[ 4,9 = \frac{6,7 × 10^{-11} × 6 × 10^{24}}{(6,4 × 10^{6} + h)^2} \]
Преобразуем уравнение для вычисления \( h \):
\[ (6,4 × 10^{6} + h)^2 = \frac{6,7 × 10^{-11} × 6 × 10^{24}}{4,9} \]
\[ (6,4 × 10^{6} + h)^2 ≈ \frac{40,2 × 10^{13}}{4,9} \]
\[ (6,4 × 10^{6} + h)^2 ≈ 8,2041 × 10^{12} \]
\[ 6,4 × 10^{6} + h ≈ \sqrt{8,2041 × 10^{12}} \]
\[ 6,4 × 10^{6} + h ≈ 2,865 × 10^{6} \]
Теперь вычтем радиус Земли из обеих частей уравнения:
\[ h ≈ 2,865 × 10^{6} - 6,4 × 10^{6} \]
\[ h ≈ -3,535 × 10^{6} \text{м} \]
Отрицательное значение \( h \) невозможно в данной задаче, так как \( h \) представляет собой высоту над поверхностью Земли и должно быть неотрицательным. Поэтому, мы должны перепроверить наши расчеты. Ошибка была во втором шаге, где мы неправильно возвели в квадрат и вычислили корень.
Попробуем выполнить корректное вычисление корня:
\[ 6,4 × 10^{6} + h ≈ \sqrt{8,2041 × 10^{12}} \]
\[ 6,4 × 10^{6} + h ≈ 90,570 × 10^{6} \]
\[ h ≈ 90,570 × 10^{6} - 6,4 × 10^{6} \]
\[ h ≈ 90,570 × 10^{6} - 64 × 10^{5} \]
\[ h ≈ (90,570 - 64) × 10^{5} \]
\[ h ≈ 26,570 × 10^{5} м \]
\[ h ≈ 2,657 × 10^{6} м \]
Это окончательный результат, и его следует округлить до целых:
\[ h ≈ 2,657,000 \text{м} \]
Таким образом, высота, на которой значение ускорения свободного падения составляет 4,9 м/с², приблизительно равна 2,657,000 метров или 2,657 километров.
