Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для решения задачи изначально мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения на любой высоте h над поверхностью Земли. Это ускорение можно вычислить по закону всемирного тяготения Ньютона:
\[ g(h) = \frac{GM}{(R + h)^2} \]
где
- \( g(h) \) – ускорение свободного падения на высоте h,
- \( G \) – гравитационная постоянная,
- \( M \) – масса Земли,
- \( R \) – средний радиус Земли,
- \( h \) – высота над Землёй.
Нам известно, что \( g(h) = 4.9 \) м/с², \( G = 6.7 \times 10^{-11} \) м³/кг·с², \( M = 6 \times 10^{24} \) кг, \( R = 6400 \) км = \( 6400 \times 10^3 \) м.
Теперь подставим данные в формулу и решим уравнение относительно h:
\[ 4.9 = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6400 \times 10^3 + h)^2} \]
Умножим обе стороны уравнения на \( (6400 \times 10^3 + h)^2 \):
\[ 4.9 \cdot (6400 \times 10^3 + h)^2 = 6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \]
Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
\[ \sqrt{4.9} \cdot (6400 \times 10^3 + h) = \sqrt{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}} \]
\[ (6400 \times 10^3 + h) = \frac{\sqrt{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}{\sqrt{4.9}} \]
\( (6400 \times 10^3 + h) = \frac{\sqrt{40.2 \times 10^{13}}}{\sqrt{4.9}} \)
Для упрощения подкоренное выражение в числителе:
\[ (6400 \times 10^3 + h) = \frac{6.34 \times 10^7}{2.21} \]
\[ (6400 \times 10^3 + h) \approx 2.869 \times 10^7 \text{ м} \]
Теперь мы решаем это для h:
\[ h \approx 2.869 \times 10^7 - 6400 \times 10^3 \]
\[ h \approx 2.869 \times 10^7 - 6.4 \times 10^6 \]
\[ h \approx 2.229 \times 10^7 \text{ м} \]
Округлим до целых:
\[ h \approx 22,290,000 \text{ м} \]
Или в километрах:
\[ h \approx 22,290 \text{ км} \]
