Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Чтобы рассчитать высоту, на которой ускорение свободного падения равно 4,9 м/с², необходимо использовать формулу для ускорения свободного падения (g) в месте, удаленном от поверхности земли:
\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
где:
- \( G \) - гравитационная постоянная (\(6,674 \cdot 10^{-11} \) Н·м²/кг²),
- \( M \) - масса Земли (6·10^24 кг),
- \( R \) - радиус Земли (6 400 км, но для формулы необходимо перевести его в метры: 6 400 000 м),
- \( h \) - высота над поверхностью Земли в метрах, которую нужно найти,
- \( g \) - ускорение свободного падения на высоте \( h \) (4,9 м/с²).
Перепишем формулу так, чтобы найти высоту:
\[ h = \sqrt{\frac{G \cdot M}{g}} - R \]
Теперь подставим числовые значения и решим уравнение:
\[ h = \sqrt{\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9}} - 6\,400\,000 \]
\[ h = \sqrt{\frac{4,0044 \cdot 10^{14}}{4,9}} - 6\,400\,000 \]
\[ h = \sqrt{8,171020408 \cdot 10^{13}} - 6\,400\,000 \]
\[ h \approx 286\,062 - 6\,400\,000 \]
\[ h \approx -6\,113\,938 \]
Полученный результат невозможен, так как это означало бы, что объект находится ниже уровня поверхности Земли, а это не имеет смысла в контексте задачи. Ошибка произошла в процессе извлечения квадратного корня. Повторим корректно вычисления:
\[ h = \sqrt{\frac{4,0044 \cdot 10^{14}}{4,9}} - 6\,400\,000 \]
\[ h \approx \sqrt{81\,714\,285\,714\,285\,71 \cdot 10^{13}} - 6\,400\,000 \]
\[ h \approx 9\,041\,000 - 6\,400\,000 \]
\[ h \approx 2\,641\,000 \text{ м} \]
Теперь полученный результат выглядит разумно. Это означает, что предмет находится примерно на высоте 2,641,000 метров от поверхности Земли, или 2,641 километров. Ответ уже будет округлен до целых, так что более точное округление не требуется.
