Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Чтобы рассчитать высоту, на которой ускорение свободного падения становится равным 4,9 м/с², воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя массами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Формула для расчета ускорения свободного падения на расстоянии r от центра Земли следующая:
\[ g = \frac{G M}{r^2} \]
где
- \( g \) — ускорение свободного падения на расстоянии \( r \) от центра Земли,
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса Земли,
- \( r \) — расстояние от центра Земли до точки, в которой измеряется ускорение.
Поскольку ускорение известно и равно 4,9 м/с², мы можем выразить расстояние \( r \):
\[ r = \sqrt{\frac{G M}{g}} \]
Подставляем известные значения:
\[ r = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \text{ H м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{4,9 \text{ м/с}^2}} \]
\[ r = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} \]
\[ r = \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \]
\[ r \approx 2,86468 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
Это расстояние от центра Земли. Чтобы найти высоту \( h \) над поверхностью Земли, необходимо от расстояния \( r \) вычесть радиус Земли \( R \):
\[ h = r - R \]
Переведем радиус Земли в метры (1 км = 1000 м):
\[ R = 6400 \text{ км} \cdot 1000 \text{ м/км} = 6 400 000 \text{ м} \]
Теперь вычислим \( h \):
\[ h = 2,86468 \cdot 10^{6} \text{ м} - 6,40000 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ h \approx -535320 \text{ м} \]
Полученный ответ отрицательный, что означает ошибку в расчетах. Вероятно, была сделана арифметическая ошибка при вычислении корня квадратного. Давайте пересчитаем корректно:
\[ r \approx \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \]
\[ r \approx \sqrt{8,20408163} \cdot 10^{6} \]
\[ r \approx 2,865 \cdot 10^{6} \]
Теперь вычтем радиус Земли:
\[ h = r - R \]
\[ h = 2,865 \cdot 10^{6} \text{ м} - 6,4 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ h \approx -535000 \text{ м} \]
Полученный результат по-прежнему отрицательный. Однако, это странно, потому что на высотах выше уровня моря ускорение свободного падения может только уменьшаться, а не увеличиваться. Скорее всего, ошибка возникла из-за использования некорректного значения \( g \). Пересчитаем корректно:
\[ r = \sqrt{\frac{G M}{g}} \]
\[ r = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \text{ H м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{4,9 \text{ м/с}^2}} \]
\[ r = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} \]
\[ r \approx \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \]
\[ r \approx 2,86 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
Теперь вычтем радиус Земли:
\[ h = r - R \]
\[ h = 2,86 \cdot 10^{6} \text{ м} - 6,4 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ h = -1,54 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
Полученная высота также отрицательна, что невозможно. Чтобы уладить эту путаницу, давайте еще раз внимательно выполним вычисления:
\[ r = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13} \text{ Н м}^2/\text{кг}}{4,9 \text{ м/с}^2}} \]
Переведем знаменатель в единую систему с числителем, чтобы исключить ошибку при сокращении единиц:
\[ r = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} \]
\[ r = \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \]
\[ r \approx 2,86 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
В вычислении корня ошибка была в том, что я неверно округлил результат до трех значащих цифр. В верхнем расчете я не убрал множитель \( 10^{6} \) при вычислении квадратного корня. Правильный расчет:
\[ r = \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \]
\[ r \approx 90,57 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ r \approx 9,057 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
Теперь верно вычтем радиус Земли в метрах:
\[ h = r - R \]
\[ h = 9,057 \cdot 10^{6} \text{ м} - 6,4 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ h \approx 2,657 \cdot 10^{6} \text{ м} \]
\[ h \approx 2,657,000 \text{ м} \]
Округлим до целых:
\[ h \approx 2,657,000 \text{ м} \]
Таким образом, предмет находится на высоте примерно 2,657,000 метров или около 2657 километров над уровнем моря для того, чтобы ускорение свободного падения было равно 4,9 м/с².
