Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Ускорение свободного падения (g) на высоте (h) от поверхности земли может быть вычислено по формуле, основанной на законе всемирного тяготения Ньютона:
\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2}, \]
где \( G \) - гравитационная постоянная (6,7 \(\times\) 10^-11 Н \(\cdot\) м^2/кг^2), \( M \) - масса Земли (6 \(\times\) 10^24 кг), \( R \) - средний радиус Земли (6400 км или 6,4 \(\times\) 10^6 м), \( h \) - высота над поверхностью Земли, на которой нужно найти ускорение свободного падения.
Мы ищем такое \( h \), при котором \( g \) равно 4,9 м/с^2. Итак, начнем преобразование исходной формулы для определения \( h \):
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6,4 \cdot 10^6 + h)^2}. \]
Далее решаем уравнение относительно \( h \):
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9}, \]
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 \approx \frac{4,02 \cdot 10^{14}}{4,9}, \]
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 \approx 8,204 \cdot 10^{13}, \]
\[ 6,4 \cdot 10^6 + h \approx \sqrt{8,204 \cdot 10^{13}}, \]
\[ 6,4 \cdot 10^6 + h \approx 9,057 \cdot 10^6, \]
\[ h \approx 9,057 \cdot 10^6 - 6,4 \cdot 10^6, \]
\[ h \approx 2,657 \cdot 10^6 \, \text{метров}. \]
Округлим результат до целого числа:
\[ h \approx 2657000 \, \text{метров} \] \[ h \approx 2657 \, \text{километров}. \]
Таким образом, для того чтобы значение ускорения свободного падения достигло 4,9 м/с^2, объект должен находиться на высоте примерно 2657 километров над уровнем поверхности Земли.
