Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для начала вспомним формулу гравитационного ускорения на высоте h над поверхностью Земли:
\[ g_h = G \frac{M}{(R+h)^2} \]
Здесь \( g_h \) – ускорение свободного падения на высоте h, G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – радиус Земли.
Мы знаем, что \( g_h = 4,9 \) м/с² и нам нужно найти h.
Выразим высоту h из этой формулы:
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Умножим обе части уравнения на \( (6400 \cdot 10^3 + h)^2 \), а также поделим на 4,9, чтобы найти h:
\[ h^2 + 2 \cdot 6400 \cdot 10^3 \cdot h + (6400 \cdot 10^3)^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} \]
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h + 40960000 \cdot 10^6 = \frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9} \]
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h + 40960000 \cdot 10^6 \approx 8,20408163 \cdot 10^{12} \]
Давайте теперь вычтем из правой части \( 40960000 \cdot 10^6 \) (что равно \( (6400 \cdot 10^3)^2 \)):
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h \approx 8,20408163 \cdot 10^{12} - 40960000 \cdot 10^6 \]
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h \approx 8,20408163 \cdot 10^{12} - 4,096 \cdot 10^{13} \]
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h \approx -3,19591837 \cdot 10^{13} \]
Перенесем члены с h в правую часть:
\[ h^2 + 12800 \cdot 10^6 \cdot h + 40960000 \cdot 10^6 = 8,20408163 \cdot 10^{12} \]
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения \[ ax^2 + bx + c = 0 \]:
\[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь a = 1, b = \( 12800 \cdot 10^6 \), c = \( 40960000 \cdot 10^6 - 8,20408163 \cdot 10^{12} \). Но изначально мной была допущена ошибка при решении уравнения. Давайте начнем решение заново, правильно учитывая размерности и значения:
Исходное уравнение о задаче:
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Отсюда получаем:
\[ (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} \]
Теперь найдем правую часть:
\[ \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} = \frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9} \approx 8,20408163 \cdot 10^{12} \]
Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\[ 6400 \cdot 10^3 + h = \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{12}} \approx 2,865 \cdot 10^6 \]
Вычтем радиус Земли из обеих сторон для получения h:
\[ h \approx 2,865 \cdot 10^6 - 6400 \cdot 10^3 \] \[ h \approx 2,865 \cdot 10^6 - 6,4 \cdot 10^6 \] \[ h \approx 2,225 \cdot 10^6 м \]
Таким образом, высота, на которой величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с², приблизительно равна 2,225 \cdot 10^6 метров. Если округлить до целых, это будет 2,225,000 метров.
