Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Question 1

Задача Задача №45783

А

Аноним

15 ноября 2023 05:43 · публичный вопрос

А

Аноним 15 ноября 2023 05:43

Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Answer

Величина ускорения свободного падения зависит от расстояния до центра Земли. На поверхности Земли она примерно равна \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \). С увеличением расстояния от центра Земли ускорение свободного падения уменьшается. Ускорение свободного падения на высоте h над Землей можно вычислить по формуле:

\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]

где \( g \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \), \( G \) — гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}\)), \( M \) — масса Земли (\(6 \times 10^{24} \, \text{кг}\)), \( R \) — радиус Земли (\(6400 \, \text{км} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\)), а \( h \) — высота над поверхностью Земли в метрах.

Мы знаем, что \( g = 4.9 \, \text{м/с}^2 \) на искомой высоте \( h \). Подставим известные данные и решим уравнение относительно \( h \):

\[ 4.9 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6 + h)^2} \]

\[ (6.4 \times 10^6 + h)^2 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{4.9} \]

\[ (6.4 \times 10^6 + h)^2 = \frac{6.674 \cdot 6}{4.9} \times 10^{13} \]

\[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 6}{4.9} \times 10^{13}} \]

\[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{40.044}{4.9} \times 10^{13}} \]

\[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{40.044}{4.9}} \times 10^{6.5} \]

\[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{8.171} \times 10^{6.5} \]

\[ 6.4 \times 10^6 + h ≈ 2.86 \times 10^{6.5} \]

\[ h ≈ 2.86 \times 10^{6.5} - 6.4 \times 10^6 \]

Так как нам нужен примерный расчет, можно воспользоваться приближением \( 10^{0.5} ≈ 3.16 \):

\[ h ≈ 2.86 \times 3.16 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \]

\[ h ≈ 9.03 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \]

\[ h ≈ 2.63 \times 10^6 \, \text{метров} \]

\[ h ≈ 2630000 \, \text{метров} \]

Таким образом, приблизительная высота, на которой ускорение свободного падения составит \( 4.9 \, \text{м/с}^2 \), составляет около 2630 км над поверхностью Земли. Это значение необходимо округлить до целых:

\[ h \approx 2630000 \, \text{метров} \approx 2630 \, \text{км} \]

Question 2

Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Answer

Величина ускорения свободного падения зависит от расстояния до центра Земли. На поверхности Земли она примерно равна \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \). С увеличением расстояния от центра Земли ускорение свободного падения уменьшается. Ускорение свободного падения на высоте h над Землей можно вычислить по формуле: \[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \] где \( g \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \), \( G \) — гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}\)), \( M \) — масса Земли (\(6 \times 10^{24} \, \text{кг}\)), \( R \) — радиус Земли (\(6400 \, \text{км} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\)), а \( h \) — высота над поверхностью Земли в метрах. Мы знаем, что \( g = 4.9 \, \text{м/с}^2 \) на искомой высоте \( h \). Подставим известные данные и решим уравнение относительно \( h \): \[ 4.9 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6 + h)^2} \] \[ (6.4 \times 10^6 + h)^2 = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{4.9} \] \[ (6.4 \times 10^6 + h)^2 = \frac{6.674 \cdot 6}{4.9} \times 10^{13} \] \[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 6}{4.9} \times 10^{13}} \] \[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{40.044}{4.9} \times 10^{13}} \] \[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{\frac{40.044}{4.9}} \times 10^{6.5} \] \[ 6.4 \times 10^6 + h = \sqrt{8.171} \times 10^{6.5} \] \[ 6.4 \times 10^6 + h ≈ 2.86 \times 10^{6.5} \] \[ h ≈ 2.86 \times 10^{6.5} - 6.4 \times 10^6 \] \[ h ≈ 2.86 \times 10^{6.5} - 6.4 \times 10^6 \] Так как нам нужен примерный расчет, можно воспользоваться приближением \( 10^{0.5} ≈ 3.16 \): \[ h ≈ 2.86 \times 3.16 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \] \[ h ≈ 9.03 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \] \[ h ≈ 2.63 \times 10^6 \, \text{метров} \] \[ h ≈ 2630000 \, \text{метров} \] Таким образом, приблизительная высота, на которой ускорение свободного падения составит \( 4.9 \, \text{м/с}^2 \), составляет около 2630 км над поверхностью Земли. Это значение необходимо округлить до целых: \[ h \approx 2630000 \, \text{метров} \approx 2630 \, \text{км} \]