Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Чтобы найти высоту, на которой ускорение свободного падения становится равным 4.9 м/с², мы можем использовать уравнение для гравитационного ускорения, которое вне поверхности сферического тела выражается как:
\[ g = \frac{G M}{(R + h)^2} \]
где: \( g \) – ускорение свободного падения на высоте \( h \), \( G \) – гравитационная постоянная (6,67 × 10⁻¹¹ м³/кг·с²), \( M \) – масса Земли (6 × 10²⁴ кг), \( R \) – радиус Земли (6400 км или 6,4 × 10⁶ м), \( h \) – высота над поверхностью Земли.
Мы можем переписать уравнение, чтобы найти \( h \):
\[ 4.9 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^{6} + h)^2} \]
Выполним алгебраические преобразования, чтобы найти \( h \):
\[ (6.4 \times 10^{6} + h)^2 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4.9} \]
\[ (6.4 \times 10^{6} + h)^2 = \frac{6.67 \times 6 \times 10^{13}}{4.9} \]
Посчитаем значение в правой части уравнения:
\[ (6.4 \times 10^{6} + h)^2 ≈ \frac{40.02 \times 10^{13}}{4.9} \]
\[ (6.4 \times 10^{6} + h)^2 ≈ 8.16 \times 10^{13} \]
Теперь извлечём квадратный корень с обеих сторон:
\[ 6.4 \times 10^{6} + h ≈ \sqrt{8.16 \times 10^{13}} \]
\[ 6.4 \times 10^{6} + h ≈ 9 \times 10^{6} \]
Отсюда находим \( h \):
\[ h ≈ 9 \times 10^{6} - 6.4 \times 10^{6} \]
\[ h ≈ 2.6 \times 10^{6} \] метров
Итак, приблизительная высота составляет 2,600,000 метров, или 2,600 км. Однако точное значение может немного отличаться в зависимости от используемых значений, особенно при более точном подсчёте корня и учитывая факторы, такие как изменения в плотности атмосферы и гравитационного поля Земли. Чтобы получить ответ, округлённый до целых, мы можем просто сказать, что высота приблизительно равна 2600 километрам.
