Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Question 1

Задача Задача №45790

А

Аноним

15 ноября 2023 05:43 · публичный вопрос

А

Аноним 15 ноября 2023 05:43

Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Answer

Для начала вспомним закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами:

\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \]

где \( F \) — сила гравитации, \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса Земли, \( m \) — масса тела (которая нам неизвестна и не влияет на расчёт, так как мы рассматриваем ускорение, не зависящее от массы), \( r \) — расстояние от центра Земли до тела.

Величина ускорения свободного падения определяется как сила, действующая на единицу массы:

\[ g = \frac{F}{m} = \frac{G \cdot M}{r^2} \]

У нас есть значение ускорения свободного падения на высоте, которое мы обозначим как \( g_h = 4,9 \) м/с². Надо найти высоту \( h \), на которой это значение ускорения наблюдается. Расстояние \( r \) от центра Земли до тела на этой высоте будет равно \( r = R + h \), где \( R \) — радиус Земли.

Подставим числовые значения и выразим высоту:

\[ g_h = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]

Подставляем известные числовые значения:

\[ 4,9 \, \text{м/с}^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]

\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]

Чтобы найти \( h \), сначала надо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ \sqrt{4,9} = \frac{\sqrt{6,7 \cdot 6 \cdot 10^{13}}}{6400 \cdot 10^3 + h} \]

\[ 2,21 \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7}{6400 \cdot 10^3 + h} \]

Умножим обе части на \( (6400 \cdot 10^3 + h) \):

\[ 2,21 \cdot (6400 \cdot 10^3 + h) \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 \]

\[ 2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3 + 2,21h \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 \]

Решим относительно \( h \):

\[ 2,21h \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 - (2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3) \]

\[ h \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7 - (2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3)}{2,21} \]

\[ h \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7 - 1,4144 \cdot 10^7}{2,21} \]

\[ h \approx \frac{1,18367621135 \cdot 10^7}{2,21} \]

\[ h \approx 5,35690960 \cdot 10^6 \]

Округлим значение до целых чисел:

\[ h \approx 5,356910 \cdot 10^6 \]

\[\approx 5356910 \text{ м} \]

\[ \approx 5357 \text{ км} \]

Таким образом, высота \( h \) приблизительно равна 5357 километров. Нужно отметить, что в расчете были использованы округления, поэтому окончательный ответ может незначительно отличаться.

Question 2

Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)

Answer

Для начала вспомним закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами: \[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} \] где \( F \) — сила гравитации, \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса Земли, \( m \) — масса тела (которая нам неизвестна и не влияет на расчёт, так как мы рассматриваем ускорение, не зависящее от массы), \( r \) — расстояние от центра Земли до тела. Величина ускорения свободного падения определяется как сила, действующая на единицу массы: \[ g = \frac{F}{m} = \frac{G \cdot M}{r^2} \] У нас есть значение ускорения свободного падения на высоте, которое мы обозначим как \( g_h = 4,9 \) м/с². Надо найти высоту \( h \), на которой это значение ускорения наблюдается. Расстояние \( r \) от центра Земли до тела на этой высоте будет равно \( r = R + h \), где \( R \) — радиус Земли. Подставим числовые значения и выразим высоту: \[ g_h = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \] Подставляем известные числовые значения: \[ 4,9 \, \text{м/с}^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \] \[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \] Чтобы найти \( h \), сначала надо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ \sqrt{4,9} = \frac{\sqrt{6,7 \cdot 6 \cdot 10^{13}}}{6400 \cdot 10^3 + h} \] \[ 2,21 \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7}{6400 \cdot 10^3 + h} \] Умножим обе части на \( (6400 \cdot 10^3 + h) \): \[ 2,21 \cdot (6400 \cdot 10^3 + h) \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 \] \[ 2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3 + 2,21h \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 \] Решим относительно \( h \): \[ 2,21h \approx 2,59807621135 \cdot 10^7 - (2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3) \] \[ h \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7 - (2,21 \cdot 6400 \cdot 10^3)}{2,21} \] \[ h \approx \frac{2,59807621135 \cdot 10^7 - 1,4144 \cdot 10^7}{2,21} \] \[ h \approx \frac{1,18367621135 \cdot 10^7}{2,21} \] \[ h \approx 5,35690960 \cdot 10^6 \] Округлим значение до целых чисел: \[ h \approx 5,356910 \cdot 10^6 \] \[\approx 5356910 \text{ м} \] \[ \approx 5357 \text{ км} \] Таким образом, высота \( h \) приблизительно равна 5357 километров. Нужно отметить, что в расчете были использованы округления, поэтому окончательный ответ может незначительно отличаться.