Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Ускорение свободного падения (g) на высоте h от поверхности Земли можно рассчитать по формуле:
\[ g_h = G \frac{M}{(R + h)^2} \]
где
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса Земли,
- \( R \) — радиус Земли,
- \( h \) — высота над поверхностью Земли.
Дано, что на высоте h ускорение свободного падения \( g_h \) составляет 4,9 м/с². Нам нужно выразить h из уравнения и подставить все известные значения.
\[ 4,9 = 6,7 \cdot 10^{-11} \frac{6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Для удобства давайте выразим всё через степени десяти:
\[ 4,9 = 6,7 \cdot 10^{-11} \frac{6 \cdot 10^{24}}{(6,4 \cdot 10^6 + h)^2} \]
Теперь давайте решим это уравнение относительно h:
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} \]
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{4,9} \]
\[ (6,4 \cdot 10^6 + h)^2 \approx 8,1633 \cdot 10^{13} \]
Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон:
\[ 6,4 \cdot 10^6 + h \approx \sqrt{8,1633 \cdot 10^{13}} \]
\[ 6,4 \cdot 10^6 + h \approx 9,0347 \cdot 10^6 \text{ (метров)} \]
\[ h \approx 9,0347 \cdot 10^6 - 6,4 \cdot 10^6 \]
\[ h \approx 2,6347 \cdot 10^6 \text{ метров} \]
\[ h \approx 2,63 \cdot 10^6 \text{ метров} \]
Округлим до целых:
\[ h \approx 2,63 \cdot 10^6 \text{ метров} \approx 2630000 \text{ метров} \]
Округляя до целых чисел, высота h равна примерно 2630000 метров.
