Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Ускорение свободного падения на высоте h от поверхности Земли можно определить по формуле:
\[ g(h) = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
Где:
- \( g(h) \) – ускорение свободного падения на высоте \( h \) от поверхности Земли,
- \( G \) – гравитационная постоянная,
- \( M \) – масса Земли,
- \( R + h \) – расстояние от центра Земли до объекта на высоте \( h \).
Известно, что ускорение свободного падения на высоте \( h \) составляет 4,9 м/с², поэтому подставляем значения в формулу и решаем её относительно \( h \):
\[ 4,9 = \frac{{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}}{{(6400 \cdot 10^3 + h)^2}} \]
Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \( h \). Прежде всего, упростим числа:
\[ 4,9 = \frac{{40,2 \cdot 10^{13}}}{{(6400000 + h)^2}} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \((6400000 + h)^2\) и поделим на 4,9:
\[ (6400000 + h)^2 = \frac{{40,2 \cdot 10^{13}}}{4,9} \]
Давайте вычислим правую часть уравнения:
\[ (6400000 + h)^2 ≈ \frac{{40,2 \cdot 10^{13}}}{4,9} ≈ 8,20408163 \cdot 10^{13} \]
Теперь вычислим квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[ 6400000 + h ≈ \sqrt{8,20408163 \cdot 10^{13}} \]
\[ 6400000 + h ≈ 9060 \cdot 10^3 \, \text{(округлив до целых)} \]
Решая относительно \( h \), получаем:
\[ h ≈ 9060 \cdot 10^3 - 6400 \cdot 10^3 \] \[ h ≈ 2660 \cdot 10^3 \]
Теперь переведем ответ из метров в километры, поделив на 1000:
\[ h ≈ 2660 \, \text{км} \]
Таким образом, предмет должен находиться на высоте примерно 2660 километров над поверхностью Земли для достижения ускорения свободного падения 4,9 м/с².
