Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для того чтобы вычислить высоту, на которой ускорение свободного падения уменьшится до значения 4,9 м/с², необходимо использовать формулу для ускорения свободного падения на высоте h от поверхности Земли:
\[ g' = \frac{GM}{(R + h)^2} \]
где:
- \( g' \) – ускорение свободного падения на высоте h,
- \( G \) – гравитационная постоянная,
- \( M \) – масса Земли,
- \( R \) – радиус Земли,
- \( h \) – высота над поверхностью Земли.
Первоначально ускорение свободного падения на поверхности Земли \( g \) равно примерно \( 9,8 \) м/с². Новое значение ускорения свободного падения \( g' \) теперь равно \( 4,9 \) м/с².
Переставим выражение относительно \( h \):
\[ g' = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
\[ (R + h)^2 = \frac{G \cdot M}{g'} \]
\[ R + h = \sqrt{\frac{G \cdot M}{g'}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{G \cdot M}{g'}} - R \]
Подставим числовые значения:
\[ h = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-11} \text{ м}^3\text{/кг} \cdot \text{с}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{4.9 \text{ м/с}^2}} - 6400 \text{ км} \]
\[ h = \sqrt{\frac{4.02 \cdot 10^{14} \text{ м}^3/\text{с}^2}{4.9 \text{ м/с}^2}} - 6400 \cdot 10^3 \text{ м} \]
\[ h = \sqrt{8.20408163 \cdot 10^{13} \text{ м}} - 6400 \cdot 10^3 \text{ м} \]
\[ h \approx \sqrt{8.20408163 \cdot 10^{13}} \text{ м} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \]
\[ h \approx 9.0682 \cdot 10^6 \text{ м} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \]
\[ h \approx 2.6682 \cdot 10^6 \text{ м} \]
Округлим до целых:
\[ h \approx 2668200 \text{ м} \]
Итак, высота, на которой значение ускорения свободного падения равно 4,9 м/с², составляет приблизительно 2 668 200 метров, или примерно 2 668 километров, если округлить до целых.
