Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:
\[ F = \frac{G M m}{(R + h)^2} \]
где:
- \( F \) – сила тяжести,
- \( G \) – гравитационная постоянная, \( G = 6,7 \cdot 10^{-11} \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \),
- \( M \) – масса Земли, \( M = 6 \cdot 10^{24} \text{кг} \),
- \( m \) – масса тела (её можно не учитывать, т. к. мы ищем ускорение свободного падения),
- \( R \) – радиус Земли, \( R = 6400 \text{км} = 6,4 \cdot 10^{6} \text{м} \),
- \( h \) – высота над поверхностью Земли.
Ускорение свободного падения на высоте \( h \) будет равно:
\[ g' = \frac{G M}{(R + h)^2} \]
Нам известно, что \( g' = 4,9 \text{м/с}^2 \). Теперь нам нужно выразить высоту \( h \):
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6,4 \cdot 10^{6} + h)^2} \]
Преобразуем уравнение, чтобы выразить \( h \):
\[ (6,4 \cdot 10^{6} + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} \]
\[ (6,4 \cdot 10^{6} + h)^2 = \frac{6,7 \cdot 6}{4,9} \cdot 10^{13} \]
\[ 6,4 \cdot 10^{6} + h = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 6}{4,9} \cdot 10^{13}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 6}{4,9} \cdot 10^{13}} - 6,4 \cdot 10^{6} \]
Вычислим значение под корнем и найдем \( h \):
\[ h = \sqrt{\frac{40,2}{4,9} \cdot 10^{13}} - 6,4 \cdot 10^{6} \]
\[ h \approx \sqrt{8,2041 \cdot 10^{12}} - 6,4 \cdot 10^{6} \]
\[ h \approx 9,065 \cdot 10^{6} - 6,4 \cdot 10^{6} \]
\[ h \approx 2,665 \cdot 10^{6} \text{м} \]
Ответ: высота, на которой ускорение свободного падения равно \( 4,9 \text{м/с}^2 \), составляет приблизительно \( 2,665 \cdot 10^{6} \) метров или \( 2665 \) километров (округлено до целых).
