Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Ускорение свободного падения на некоторой высоте h над поверхностью Земли можно вычислить по формуле:
\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
где:
- \( g \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \),
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса Земли,
- \( R \) — радиус Земли,
- \( h \) — высота над поверхностью Земли, которую нам нужно найти.
Нам известны значения:
- \( g = 4,9 \) м/с²,
- \( G = 6,7 \cdot 10^{-11} \) Н·м²/кг²,
- \( M = 6 \cdot 10^{24} \) кг,
- \( R = 6400 \) км, что равно \( 6400 \cdot 10^3 \) м.
Мы можем выразить \( h \) через известные значения:
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Для удобства, давайте упростим числитель, умножив \( 6,7 \cdot 10^{-11} \) на \( 6 \cdot 10^{24} \):
\[ 4,9 = \frac{40,2 \cdot 10^{13}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Теперь разделим обе стороны уравнения на 4,9, чтобы выразить \((6400 \cdot 10^3 + h)^2\):
\[ (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = \frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9} \]
Рассчитаем правую сторону:
\[ (6400 \cdot 10^3 + h)^2 ≈ 8,204 \cdot 10^{13} \]
Теперь найдём квадратный корень обеих сторон уравнения:
\[ 6400 \cdot 10^3 + h ≈ \sqrt{8,204 \cdot 10^{13}} \]
\[ 6400 \cdot 10^3 + h ≈ 9,06 \cdot 10^6 \]
Теперь выразим \( h \):
\[ h ≈ 9,06 \cdot 10^6 - 6400 \cdot 10^3 \]
\[ h ≈ 9,06 \cdot 10^6 - 6,4 \cdot 10^6 \]
\[ h ≈ 2,66 \cdot 10^6 \] метров.
Ответ округляем до целых:
\[ h ≈ 2,660,000 \] метров, или приблизительно 2660 км (если округлить до ближайших величин).
