Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу, выражающую ускорение свободного падения на высоте h от поверхности Земли: \[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
где \( g \) - ускорение свободного падения на высоте \( h \), \( G \) - универсальная гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли, \( R \) - радиус Земли.
Из этой формулы можно выразить высоту \( h \) следующим образом: \[ h = \sqrt{\frac{G \cdot M}{g}} - R \]
Дано ускорение свободного падения \( g = 4,9 \) м/с². Подставим известные величины в формулу и решим относительно \( h \):
\[ h = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{4,9 \text{ м/с²}}} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13} \text{ Н·м²/кг}}{4,9 \text{ м/с²}}} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h = \sqrt{8,204081632 \cdot 10^{12}} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h = 2860000 \text{ м} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h = -3540000 \text{ м} \]
Полученная отрицательная величина \( h \) указывает на то, что использованная нами формула применяется для высот \( h \) над поверхностью Земли. Следовательно, такое ускорение может быть достигнуто только внутри Земли, около её центра.
Однако мы не можем использовать указанную физическую модель для описания условий внутри планеты, так как ускорение свободного падения внутри планеты зависит от распределения её внутренней массы и изменяется от 0 у центра планеты до g на её поверхности.
Тем не менее, давайте проверим расчёты ещё раз, так как результат не должен быть отрицательным. \[ h = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9}} - 6400000 \]
\[ h ≈ \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} - 6400000 \]
\[ h ≈ \sqrt{8,204081632653061 \cdot 10^{12}} - 6400000 \]
\[ h ≈ 2861224 \text{ м} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h ≈ -3538776 \text{ м} \]
Так как получается отрицательное значение, это означает, что значение ускорения свободного падения 4,9 м/с² не может быть достигнуто над поверхностью Земли с учетом гравитации исключительно нашей планеты. Это объясняется тем, что ускорение свободного падения у поверхности Земли составляет приблизительно 9,8 м/с², и оно уменьшается с увеличением h — но не увеличивается.
