Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для расчета высоты, на которой величина ускорения свободного падения становится равной 4,9 м/с², вспомним формулу для гравитационного ускорения в общем виде:
\[ g = \frac{G M}{(R + h)^2} \]
где \( g \) – искомое ускорение свободного падения, \( G \) – гравитационная постоянная, \( M \) – масса Земли, \( R \) – радиус Земли, \( h \) – искомая высота над поверхностью Земли.
Из этой формулы можем выразить высоту \( h \):
\[ h = \sqrt{\frac{G M}{g}} - R \]
Подставим известные значения:
\[ G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2, \] \[ M = 6 \times 10^{24} \text{ кг}, \] \[ R = 6400 \text{ км} = 6400 \times 10^3 \text{ м}, \] \[ g = 4,9 \text{ м/с}^2. \]
Теперь считаем:
\[ h = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4,9}} - 6400 \times 10^3 \]
\[ h = \sqrt{\frac{4,002 \times 10^{14}}{4,9}} - 6400 \times 10^3 \]
\[ h = \sqrt{81673469388,8} - 6400 \times 10^3 \]
\[ h \approx 286131,12 \text{ м} - 6400000 \text{ м} \]
\[ h \approx -6136868,88 \text{ м} \]
Получается отрицательное значение, что физически невозможно, значит, была допущена ошибка в вычислениях. Попытаемся разобраться.
Правильный расчет выглядит так:
\[ h = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4,9}} - 6400 \times 10^3 \]
\[ h = \sqrt{\frac{4,002 \times 10^{14}}{4,9}} - 6400 \times 10^3 \]
\[ h ≈ \sqrt{81673469387,7551} - 6400000 \]
\[ h ≈ 9037377,17 - 6400000 \]
\[ h ≈ 2637377,17 \]
Округляя до целых чисел, получаем высоту:
\[ h ≈ 2637377 \text{ м} \]
Округлим до целых, получим:
\[ h ≈ 2637377 \text{ м} \]
или если представить в километрах:
\[ h ≈ 2637 \text{ км} \]
Это и будет искомая высота.
