Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу гравитационного ускорения в зависимости от радиуса, на котором находится предмет:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
где \( g \) – ускорение свободного падения на высоте \( R \) над центром Земли, \( G \) – гравитационная постоянная, \( M \) – масса Земли, \( R \) – расстояние от центра Земли до предмета (сумма радиуса Земли и высоты предмета над поверхностью).
Известно, что на поверхности Земли ускорение свободного падения примерно равно \( 9,8 \text{ м/с}^2 \) и уменьшается с увеличением высоты. Нам дано, что на некоторой высоте ускорение равно \( 4,9 \text{ м/с}^2 \). Сначала найдем расстояние от центра Земли до этого предмета (\( R_{\text{новое}} \)):
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{R_{\text{новое}}^2} \]
Решив это уравнение относительно \( R_{\text{новое}} \), получим:
\[ R_{\text{новое}} = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9}} = \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} \approx 2,86 \cdot 10^7 \text{ м} \]
Теперь мы знаем расстояние от центра Земли до предмета. Чтобы найти высоту предмета над поверхностью Земли, нам нужно вычесть радиус Земли из этого расстояния:
\[ h = R_{\text{новое}} - R_{\text{Земли}} \]
Прежде чем вычитать, нужно преобразовать радиус Земли в метры, так как \( R_{\text{новое}} \) уже в метрах:
\[ R_{\text{Земли}} = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \]
Теперь находим \( h \):
\[ h = 2,86 \cdot 10^7 \text{ м} - 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 2,22 \cdot 10^7 \text{ м} \]
Округлив до целых, получим:
\[ h \approx 2,2 \cdot 10^7 \text{ м} \]
Это очень большой результат, который не соответствует действительности, потому что на такой высоте ускорение свободного падения будет существенно меньше 4,9 м/с², учитывая, что уже на высоте геостационарной орбиты (около 35786 км) ускорение всё равно больше. Давайте перепроверим наши расчёты.
